Question

6．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG=45°，请你利用（1）的结论证明：S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=2．求△ECG的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得BC=CD，再利用“边角边”证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DCF，再求出∠GCF=45°，从而得到∠GCF=∠GCE，再利用“边角边”证明△GCE≌△GCF，由（1）得△BCE≌△DCF，即可得出结论；
（3）过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．证明四边形ABCD是正方形，由（2）得：GE=GF，得出GE=DF+GD=BE+GD，设DG=x，则AG=6-x，GE=2+x，在Rt△AEG中，由勾股定理得出方程，解方程求出DG，S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠CDF=90°，BC=CD，
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDF=90°}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF；
（2）证明：延长AD至F，使DF=BE．连接CF，如图1所示：
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=90°-45°=45°，
∴∠GCF=∠GCE，
在△ECG和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCF=∠GCE}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△GCF（SAS），
∴S_△ECG=S_△GCF=S_△BCE+S_△CDG，
∴S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG；
（3）解：过C作CD⊥AG，交AG延长线于D；如图2所示：
在直角梯形ABCG中，∵AG∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CDA=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
由（2）得：△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD，
设DG=x，
∵BE=2，AB=6，
∴AE=4，AG=6-x，GE=2+x，
在Rt△AEG中，
GE²=AE²+AG²，
即（2+x）²=4²+（6-x）²，
解得：x=3，
∴S_△ECG=S_△BCE+S_△CDG=$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×3×6=15，
∴△CEG的面积为15．

点评 本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果．