Question

4．如图，设一个三角形的三边分别是3，1-3m，8．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在整数m使三角形的周长为偶数？若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；
（3）如图，在（2）的条件下，当AB=8，AC=1-3m，BC=3时，若D是AB的中点，连CD，P是CD上动点（不与C，D重合，当P在线段CD上运动时，有两个式子）：①$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△APC}+{S}_{△BPD}}$；②$\frac{PA+PB}{AB}$，其中有一个的值不变，另一个的值改变．问题：
A．请判断出谁不变，谁改变；
B．若不变的求出其值，若改变的求出变化的范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角形三边关系列出不等式组求解即可，
（2）利用m的取值范围求出m为整数的值，即可求出三角形的周长，
（3）点D是AB的中点，设点A到CD的距离为h，则点B到CD的距离为h，可得S_△APC与S_△BPD，得邮S_△APC+S_△BPD与S_△ABC的关系，即可得出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△APC}+{S}_{△BPD}}$的值，由AB=8，AC=7，BC=3，结合由三角形两边之和大于第三边性质可以知道1＜$\frac{PA+PB}{AB}$＜$\frac{5}{4}$．

解答 解：（1）由三角形三边关系可得$\left\{\begin{array}{l}{3+1-3m＞8}\\{3+8＞1-3m}\end{array}\right.$，解得-10/3＜m＜-4/3；
（2）∵-10/3＜m＜-4/3；
∴m为整数的时候取值只可为-2，
∴1-3m=7，
∴周长是3+7+8=18；
（3）∵点D是AB的中点，设点A到CD的距离为h，则点B到CD的距离为h，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$PC•h，S_△BPD=$\frac{1}{2}$PD•h，
∴S_△APC+S_△BPD=$\frac{1}{2}$（PC+PD）h=$\frac{1}{2}$CD•h，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$CD•h+$\frac{1}{2}$CD•h=CD•h，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△APC}+{S}_{△BPD}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2
∴①不改变；
∵AB=8，AC=7，BC=3
∴由三角形两边之和大于第三边性质可以知道AB＜AP+PB＜AC+CB，即8＜AP+PB＜10，
∴1＜$\frac{PA+PB}{AB}$＜$\frac{10}{8}$，即1＜$\frac{PA+PB}{AB}$＜$\frac{5}{4}$．
∴②改变．

点评 本题主要考查了面积及等积变换，涉及三角形三角性质，解不等式及等积变换等知识，解题的关键是等积变换及三角形三边关系的灵活运用．