Question

14．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，且AB=2cm，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为2$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 由已知条件易求∠BAD=120°，菱形的每条对角线平分一组对角，则∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，即△ABC是等边三角形，由此可求得AC=AB=2cm；由菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直平分，在Rt△BAO中，已知AB、AO的长，由勾股定理求得BO的长，进而可得出菱形ABCD的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
又在△ABC中，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=2cm，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，
∴OB²=AB²-AO²，
∴OB=$\sqrt{3}$cm，
∴BD=2BO=2$\sqrt{3}$cm，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．