Question

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²的顶点为A，直线y=-x-m与y轴相交于点B，其中m＞0．
（1）判断点A是否在直线y=-x-m上；
（2）点C是抛物线对称轴上的一点，点D在抛物线上，若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，求出m的值和点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据顶点式得出点A的坐标代入解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠DAC=45°，AD=AB或AD=AO两种情况进行解答．

解答 解：（1）因为抛物线y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²的顶点为A，
可得点A的坐标为：（-m，0），
把A（-m，0）代入y=-x-m中，
可得：0=-（-m）-m成立，
∴A在直线上；
（2）因为直线y=-x-m与y轴相交于点B，可得点B的坐标为（0，-m），
所以△AOB是等腰直角三角形，
若△CDA与△AOB全等，
∵∠DAC≠90°，
∴必有∠DAC=45°，且AD=AB或AD=AO，
①若∠DAC=45°，AD=AB=$\sqrt{2}$m，
则D（0，-m）或D（-2m，-m）代入y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²，
得：m=0或2，
∵m＞0，
∴m=2，
点D坐标为（0，-2）或（-4，-2）；
②若∠DAC=45°，AD=AO=m，
则D（$-m±\frac{\sqrt{2}}{2}m$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}m$）代入y=-$\frac{1}{2}$（x+m）²，
得：m=0或2$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=2$\sqrt{2}$，
点D的坐标为（$-2\sqrt{2}±2$，-2）．

点评 此题考查一次函数综合题，关键是根据顶点式得出点A的坐标，再根据等腰直角三角形的性质进行解答．