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【题目】(2016广东省茂名市第25题)如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.

(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;

(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,过点P作PFx轴于点F,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标.

【答案】(1)、y=x2+2x+3;(2)、(2,2);(3)、(,0),(,0),(,0),(,0).

【解析】

试题分析:(1)、利用待定系数法求出过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2)、连接PC、PE,利用公式求出顶点D的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式,设出点P的坐标为(x,2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2,根据题意列出方程,解方程求出x的值,计算求出点P的坐标;(3)、设点M的坐标为(a,0),表示出点G的坐标,根据正方形的性质列出方程,解方程即可.

试题解析:(1)、抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(3,0)两点,

解得, 经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式为y=x2+2x+3;

(2)、如图1,连接PC、PE, x===1, 当x=1时,y=4,

点D的坐标为(1,4), 设直线BD的解析式为:y=mx+n,则 解得,

直线BD的解析式为y=2x+6, 设点P的坐标为(x,2x+6),

则PC2=x2+(3+2x6)2,PE2=(x1)2+(2x+6)2 PC=PE,

x2+(3+2x6)2=(x1)2+(2x+6)2 解得,x=2, 则y=2×2+6=2, 点P的坐标为(2,2);

(3)、设点M的坐标为(a,0),则点G的坐标为(a,a2+2a+3),

以F、M、G为顶点的四边形是正方形, FM=MG,即|2a|=|a2+2a+3|,

当2a=a2+2a+3时, 整理得,a23a1=0, 解得,a=

当2a=a2+2a+3)时, 整理得,a2a5=0, 解得,a=

当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时,点M的坐标为(,0),(,0),(,0),(,0).

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