【题目】已知,如图,在平面直角坐标系中,的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,
,
.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点,
的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标;
(3)在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得为等腰三角形(P为上述(2)问中使S最大时的点)?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)设点M是直线AC上的动点,试问:在平面直角坐标系中,是否存在位于直线AC下方的点N,使得以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=;对称轴为x=
;(2)S=-(m-2)2+4,点P的坐标为(2,3);(3)点M的坐标为(
,
)或(
,
)或(
,
)或(
,
)或(
,
)时,△MPC为等腰三角形;(4)点N的坐标为(
,
)或(
,
)或(-2,1).
【解析】
(1)由同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,得到三角形AOB与三角形AOC相似,由相似得比例,求出OC的长,确定出C坐标,由B与C坐标设出抛物线的交点式解析式,将A坐标代入求出a的值,确定出抛物线解析式,求出对称轴即可;
(2)连接AP,CP,过P作PQ垂直于x轴,将x=m代入抛物线解析式表示出P的纵坐标,即为PQ的长,三角形APC面积=梯形APQO面积+三角形PQC面积-三角形AOC面积,列出S关于m的二次函数解析式,利用二次函数的性质求出S最大时m的值,即可确定出此时P的坐标;
(3)分点M是顶点、点C是顶点、点P是顶点三种情况分别讨论即可;
(4)分为边、
为对角线分别进行讨论即可.
(1)∵A(0,2),B(-1,0),
∴OA=2,OB=1,
∵∠AOB=∠AOC=∠BAC=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°,∠BAO+∠OAC=90°,
∴∠ABO=∠CAO,
∴△AOB∽△COA,
∴,即
,解得
,
∴点的坐标为
,
设过、
、
三点的抛物线的解析式为
,
将代入,得
,解得
,
∴过、
、
三点的抛物线的解析式为
,即
,
∵,
∴抛物线的对称轴为;
(2)过点作
轴的垂线,垂足为点
,
∵点在
上,
∴,
∴
,
,
,
∴
,
∵,
∴当时,
最大,
当时,
,
∴点的坐标为
;
(3)存在.
设点,
∵,
,
∴,
,
.
分三种情况讨论:
①当点是顶点时,
,即
,解得,
.
∴,
②当点是顶点时,
,即
,解得,
.
∴,
,
③当点是顶点时,
,即
,解得,
.
∴,
,
综上所述,当点的坐标为
或
或
或
或
时,
为等腰三角形.
(4)当为边时,
,
,
若在
右侧时,则点
的坐标为
;
若在
左侧时,则点
的坐标为
,
当为对角线时,
垂直平分
,则点
的纵坐标为1,
把代入
得
,
∴,
∴,
综上所述,当点N的坐标为(,
)或(
,
)或(-2,1).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知AM是⊙O直径,弦BC⊥AM,垂足为点N,弦CD交AM于点E,连按AB和BE.
(1)如图1,若CD⊥AB,垂足为点F,求证:∠BED=2∠BAM;
(2)如图2,在(1)的条件下,连接BD,若∠ABE=∠BDC,求证:AE=2CN;
(3)如图3,AB=CD,BE:CD=4:7,AE=11,求EM的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线上在x轴下方的动点,过M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)E是抛物线对称轴上一点,F是抛物线上一点,是否存在以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在一次数学活动中,黑板上画着如图所示的图形,活动前老师在准备的四张卡片(大小、颜色、形状相同)的正面上分别写有如下四个等式中的一个等式:①;②
;③
;④
;小英同学闭上眼睛从四张卡片中随机抽出一张,再从剩下的卡片中随机抽出另一张,请结合图形回答下列问题:
(1)当抽得②和④时,用②和④作条件能否判定四边形是平行四边形,请说明理由;
(2)请你用树状图或表格表示抽取两张卡片上的条件的所有可能出现的结果(用序号表示)并求以已经抽取的两张卡片上的条件为已知,使四边形不能构成平行四边形的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】随着社会经济的发展,汽车逐渐走入平常百姓家.某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查,对职工购车情况分4类(A:车价40万元以上;B:车价在20﹣40万元;C:车价在20万元以下;D:暂时未购车)进行了统计,并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图.请结合图中信息解答下列问题:
(1)调查样本人数为 ,样本中B类人数百分比是 ,其所在扇形统计图中的圆心角度数是 ;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人,现从这5个人中选2人去参观车展,用列表或画树状图的方法,求选出的2人来自不同科室的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】写字是学生的一项基本功,为了了解某校学生的书写情况,随机对该校部分学生进行测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级.根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,回答以下问题:
(1)把条形统计图补充完整;
(2)若该校共有2000名学生,估计该校书写等级为“D级”的学生约有 人;
(3)随机抽取了4名等级为“A级”的学生,其中有3名女生,1名男生,现从这4名学生中任意抽取2名,用列表或画树状图的方法,求抽到的两名学生都是女生的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均b):
●在图1中,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分);
●在图2中,将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).
(1)在图3中,请你类似地画一条有两个折点的线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影;
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:
S1=__________,S2=__________,S3=__________.
(3)联想与探索
如上图,在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分表示的草场地面积是多少?并说明你的猜想是正确的.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com