Question

如图在△ABC中，AB=4，BC=4

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，∠ABC=30°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，
（1）试判断CD与BD的大小关系，说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC垂直为点E，试判断直线DE与⊙O的位置关系，说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD，因为AB为直径，所以∠ADB=90，再由已知条件和勾股定理求出BD的长，进而求出CD的长，再比较它们的大小即可；
（2）连接OD，证明∠EDO=90°即可．

解答：解：①CD=BD，理由如下：
连接AD，∵AB为⊙O的直，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=30°，AB=4，
∴AD=2，
∴BD=

AB2-AD2

=2

3

，
∴CD=BC-BD=2

3

，
∴BD=CD；

（2）DE与⊙O相切，
证明：连接OD
∵O，D分别为AB，BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC 
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定以及勾股定理的有关知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．