Question

证明：9⁸ⁿ⁺⁴-7⁸ⁿ⁺⁴能被8整除．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：证明题

分析：将9⁸ⁿ⁺⁴-7⁸ⁿ⁺⁴变形为（9²ⁿ⁺¹）⁴-（7²ⁿ⁺¹）⁴，再根据平方差公式分解因式，根据奇数+奇数=偶数，奇数-奇数=偶数，即可证明．

解答：证明：9⁸ⁿ⁺⁴-7⁸ⁿ⁺⁴
=（9²ⁿ⁺¹）⁴-（7²ⁿ⁺¹）⁴
=[（9²ⁿ⁺¹）²+（7²ⁿ⁺¹）²][（9²ⁿ⁺¹）²-（7²ⁿ⁺¹）²]
=[（9²ⁿ⁺¹）²+（7²ⁿ⁺¹）²]（9²ⁿ⁺¹+7²ⁿ⁺¹）（9²ⁿ⁺¹-7²ⁿ⁺¹）
∵（9²ⁿ⁺¹）²+（7²ⁿ⁺¹）²，9²ⁿ⁺¹+7²ⁿ⁺¹，9²ⁿ⁺¹-7²ⁿ⁺¹都是偶数，
∴9⁸ⁿ⁺⁴-7⁸ⁿ⁺⁴能被8整除．

点评：考查了因式分解的应用，关键是灵活运用平方差公式分解因式．