Question

16．如果一个三角形三边的长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，那么这个三角形最长边上的高与中线夹角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据三角形三边的长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，由勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后根据等积法可以求得斜边上的高，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出斜边中线的长度，从而可以推导出该三角形最长边上的高与中线夹角的正切值．

解答 解：∵三角形三边的长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，
又∵${1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=（\sqrt{3}）^{2}$，
∴该三角形为直角三角形．
如下图所示：令BC=1，AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，CD⊥AB，CE为斜边AB上的中线，
则$\frac{CD×AB}{2}=\frac{AC×BC}{2}$，CE=$\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得，CD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵CD⊥AB，CE=$\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴tan∠ECD=$\frac{DE}{CD}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查勾股定理的逆定理，解直接三角函数，直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，根据直角三角形三条边可以求出斜边上的高，本题的关键是理清题意，正确作答．