Question

已知抛物线y=-x²+（m-4）x+2m+4与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于点C，且x₁＜x₂，x₁+2x₂=0．若点A关于y轴的对称点是点D．
（1）求过点C、B、D的抛物线的解析式；
（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式．

Answer 1

分析：（1）因为二次函数的二次项系数a=-1＜0，故抛物线开口向下，由图象于x轴有两个交点可知，抛物线顶点的纵坐标大于0，令y=0，即-x²+（m-4）x+2m+4=0，根据一元二次方程根与系数的关系，及二次函数图象的特点列出方程及不等式组，即可求出A，B，C三点的坐标．由点A与点D关于y轴对称，可求出D点的坐标，用待定系数法即可求出经过C、B、D的抛物线的解析式．
（2）根据（1）中所得抛物线的解析式可求出抛物线的顶点坐标P，因为△HBD与△CBD同底，且其面积相等，故设点H的坐标为H（x₀，y₀），则|y₀|=8，因为抛物线的顶点坐标为P（-1，9），所以点H只能在x轴的上方，故y₀=8，代入（1）中所得抛物线的解析式即可求出H点的坐标，再用待定系数法即可求出直线PH的解析式．

解答：解：（1）由题意得：

x1+2x2=0① x1+x2=m-4② x1x2=-2m-4③ (m-4)2+4(2m+4)=m2+32＞0

由①②得：x₁=2m-8，x₂=-m+4，
将x₁、x₂代入③得：（2m-8）（-m+4）=-2m-4，
整理得：m²-9m+14=0．
∴m₁=2，m₂=7
∵x₁＜x₂
∴2m-8＜-m+4
∴m＜4
∴m₂=7（舍去）
∴x₁=-4，x₂=2，点C的纵坐标为：2m+4=8
∴A、B、C三点的坐标分别是A（-4，0）、B（2，0）、C（0，8）
又∵点A与点D关于y轴对称
∴D（4，0）
设经过C、B、D的抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x-4）
将C（0，8）代入上式得：8=a（0-2）（0-4）
∴a=-1，
∴所求抛物线的解析式为：y=-x²-6x+8．

（2）∵y=-x²-6x+8=-（x+3）²+17，
∴顶点P（-3，17）
设点H的坐标为H（x₀，y₀）
∵△BCD与△HBD的面积相等
∴|y₀|=8
∵点H只能在x轴的上方，
故y₀=8
将y₀=8代入y=-x²-6x+8中得：x₀=6或x₀=0（舍去）
∴H（6，8）
设直线PH的解析式为：y=kx+b得：

3k+b=-1 6k+b=8

，
解得：

k=3 b=-10

．
∴直线PH的解析式为：y=3x-10．

点评：此题比较复杂，综合考查了二次函数与一元二次方程的关系，及二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，是一道难度适中的题目．