Question

如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S₁，S₂，S₃，…．则：
（1）S₁=______；
（2）通过计算可得S₂₀₀₉=______．

Answer 1

（1）设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，
则S_n=

1

2

b×btan∠AOB-

1

2

a×atan∠AOB=

3

6

（b²-a²），
又∵梯形1距离点O的距离a=1，b=3，
∴S₁=

3

6

（3²-1²）=

4 3

3

；

（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，
2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，
下底为第2008×2+2个奇数，
∴第2009个梯形的两边长分别为：
a=2×（2008×2+1）-1=8033，
b=2×（2008×2+1）+1=8035，
故S₂₀₀₉=

3

6

（8035²-8033²）=5356

3

．