Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为_________．

Answer 1

【答案】6

【解析】

先证明△AOE≌△COF，Rt△BFO≌Rt△BFC，再证明△OBC、△BEF是等边三角形即可求出答案.

如图，连接BO，

∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，∠DCB=90°

∴∠FCO=∠EAO

在△AOE与△COF中，

∴△AOE≌△COF

∴OE=OF,OA=OC

∵BF=BE

∴BO⊥EF，∠BOF=90°

∵∠BEF=2∠BAC=∠CAB+∠AOE

∴∠EAO=∠EOA，

∴EA=EO=OF=FC=2

在Rt△BFO与Rt△BFC中

∴Rt△BFO≌Rt△BFC

∴BO=BC

在Rt△ABC中，∵AO=OC，

∴BO=AO=OC=BC

∴△BOC是等边三角形

∴∠BCO=60°，∠BAC=30°

∴∠FEB=2∠CAB=60°，

∵BE=BF

∴EB=EF=4

∴AB=AE+EB=2+4=6，

故答案为6.