Question

16．已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．
（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线．
①求证：∠AFC=120°；
②若AD=6，CE=4，求AC的长？
（2）如图2，若∠FAC=∠FCA=30°，求证：AD=CE．

Answer 1

分析 （1）①由题意∠BAC+∠BCA=120°，根据∠AFC=180-∠FAC-∠FCA=180-$\frac{1}{2}（∠BAC+∠BCA）$=120°，即可解决问题．②在AC上截取AG=AD=6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG=CE=4，由此即可解决问题．
（2）在AE上截取FH=FD，连接CH．只要证明△ADF≌△CHF（SAS），再证明CH=CE，即可解决问题．

解答 解：（1）①∵AE、CD分别为△ABC的角平分线
∴∠FAC=$\frac{1}{2}∠BAC$，∠FCA=$\frac{1}{2}∠BCA$，
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∴∠AFC=180-∠FAC-∠FCA=180-$\frac{1}{2}（∠BAC+∠BCA）$=120°．

②在AC上截取AG=AD=6，连接FG．

∵AE、CD分别为△ABC的角平分线
∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，
∵∠AFC=120°，
∴∠AFD=∠CFE=60°，
在△ADF和△AGF中
$\left\{\begin{array}{l}AD=AG\\∠DAF=∠GAF\\ AF=AF\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AGF（SAS）
∴∠AFD=∠AFG=60°，
∴∠GFC=∠CFE=60°，
在△CGF和△CEF中
$\left\{\begin{array}{l}∠GFC=∠EFC\\ CF=CF\\∠GCF=∠ECF\end{array}\right.$，
∴△CGF≌△CEF（ASA），
∴CG=CE=4，
∴AC=10．

（2）在AE上截取FH=FD，连接CH．

∵∠FAC=∠FCA=30°
∴FA=FC，
在△ADF和△CHF中
∵$\left\{\begin{array}{l}AF=CF\\∠AFD=∠CFH\\ DF=HF\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CHF（SAS），
∴AD=CH，∠DAF=∠HCF，
∵∠CEH=∠B+∠DAF=60°+∠DAF
∠CHE=∠HAC+∠HCA=60°+∠HCF
∴∠CEH=∠CHE，
∴CH=CE，
∴AD=CE．

点评 本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．