Question

14．如图，已知一长为$\sqrt{3}$dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积．

Answer 1

分析 由弧长、面积公式分别求出各段弧长、面积，相加即可求解．

解答 解：$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2
由题意可得，第一段弧长为$\widehat{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$π×2=πdm，面积=$\frac{1}{4}$π×2²=πdm²；
第二段弧长$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$为=$\frac{1}{2}$π×1=$\frac{1}{2}$πdm，面积=$\frac{1}{4}$π×1²=$\frac{1}{4}$πdm²；
第三段弧长$\widehat{{A}_{2}{A}_{3}}$为=$\frac{1}{3}$π×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$πdm，面积=$\frac{1}{6}$π×（$\sqrt{3}$）²=$\frac{1}{2}$πdm²；
故点A走过的路程的长为$\frac{3}{2}$π+$\frac{\sqrt{3}}{3}$πdm，走过的弧度所在扇形的总面积为$\frac{7}{4}$πdm²．

点评 本题考查弧长、面积公式，求出各段弧长的半径和圆心角是解题的关键，有一定的难度．