Question

问题：你能比较2005²⁰⁰⁶和2006²⁰⁰⁵的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n为正整数），我们从n=1，n=2，n=3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论．
（1）通过计算，比较下列各组数字大小
①1²______2¹　②2³______3² ③3⁴______4³
④4⁵______5⁴　　 ⑤5⁶______6⁵　　　⑥6⁷______7⁶
…
（2）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较下列两个数的大小 2005²⁰⁰⁶______2006²⁰⁰⁵（填”＞”，”＜”，“=”）
（3）把第（1）题的结果经过归纳，你能得出什么结论？

Answer 1

解：（1）通过计算，比较下列各组数字大小
①1²＜2¹②2³＜3²③3⁴＞4³
④4⁵＞5⁴⑤5⁶＞6⁵⑥6⁷＞7⁶

（2）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较下列两个数的大小
2005²⁰⁰⁶＞2006²⁰⁰⁵

（3）nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n为大于2的整数）．
分析：（1）根据乘方的意义，计算各个数，即可作出比较；
（2）根据（1）可以得到规律：相邻的两个正整数，其中一个作底数，另一个作指数，较小的数作底数所得的幂较大，据此即可直接比较；
（3）把（1）中得到的规律，中的相邻的两个数用n和n+1表示，即可得到．
点评：本题考查了有理数的乘方，理解（1）中的数的底数与指数的关系，是解决本题的关键．