Question

9．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．G为BC上的一点，将△ADE沿AE对折至△AFE，同时将△ABG沿AG对折至△AFG，连接CF．
（1）求∠AEC+∠AGC的度数；
（2）求证：BG=GC．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，翻折的性质求得∠GAE=45°，根据四边形内角和为360°可得∠AEC+∠AGC=360°-∠GAE-∠BCD=225°；
（2）在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠BAD=∠BCD=90°，
由对折可知：∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
四边形AGCE中，∠AEC+∠AGC=360°-∠GAE-∠BCD=225°；
（2）∵AB=DC=6，CE=2DE，
∴CE=4，DE=2，
设BG=FG=x，则CG=6-x．
∵DE=EF=2，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3，CG=6-3=3；
∴BG=GC．

点评 本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．