Question

如图，已知P、O₂是⊙O₁上两点，⊙O₁与⊙O₂都经过A、B两点，PA的延长线和PB分别交于⊙O₂于C、D两点．求证：
（1）PO₂平分∠APB；
（2）AC=BD．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：证明题

分析：（1）由圆的半径相等得出AO₂=BO₂，再由O₂在⊙O₁上，可得出

AO2

=

BO2

，由在同一个圆中等弧所对的圆周角相等得出∠APO₂=∠BPO₂，即可得出结论PO₂平分∠APB．
（2）过O₂分别做AC，BD的垂线交AC，BD于E，F，由角平分线的性质可得O₂E=O₂F，可证得△CO₂E≌△BO₂F，得出CE=BF，即可得出AC=BD．

解答：证明：（1）∵⊙O₁与⊙O₂都经过A、B两点，
∴AO₂=BO₂
∵O₂在⊙O₁上，
∴

AO2

=

BO2

，
∴∠APO₂=∠BPO₂
∴PO₂平分∠APB
（2）如图，过O₂分别做AC，BD的垂线交AC，BD于E，F

∵∠O₂PE=∠O₂PF，
∴O₂E=O₂F，
在△CO₂E和△BO₂F中，

∠CEO2=∠BFO2 O2E=O2F ∠CO2E=∠BO2F

，
∴△CO₂E≌△BO₂F（ASA），
∴CE=BF，
∵AC=2CE，BD=2BF，
∴AC=BD

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键利用角平分线的性质得出O₂E=O₂F．