Question

【题目】已知二次函数图象的顶点坐标为M(1，0)，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在轴上．

（1）求m的值及这个二次函数的解析式；

（2）若P(，0) 是轴上的一个动点，过P作轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．

①当0<< 3时，求线段DE的最大值；

②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)①有最大值②存在.（2，0）（，0）（，0）.

【解析】

（1）将A点坐标分别代入抛物线的直线，便可求出抛物线的解析式和m的值；

（2）过A作AH⊥PM于H，利用△MAB的面积=S梯形BOHA-S△BOM-S△AMH计算即可；

（3）①线段DE的长为h，根据P点坐标分别求出DE两点坐标，便可求出h与a之间的函数关系式，进而可求出线段DE的最大值；

②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形，要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2，由①知DE=|-a2+3a|，进而求出a的值，所以P的坐标可求出．

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2，

∵点A（3，4）在抛物线上，则4=a（3-1）2，

解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x-1）2

∵点A（3，4）也在直线y=x+m，即4=3+m，

解得m=1；

（2）过A作AH⊥PM于H，

∵B（0，1），M（1，0），A（3，4），

∴OB=1，OH=3，AH=4，

∴△MAB的面积=S梯形BOHA-S△BOM-S△AMH=7.5-×1×1-×2×4=3；

（3）①已知P点坐标为P（a，0），则E点坐标为E（a，a2-2a+1），D点坐标为D（a，a+1），

h=DE=yD-yE=a+1-（a2-2a+1）=-a2+3a，

∴h与a之间的函数关系式为h=-a2+3a=-（a-）2+（0＜a＜3），

∴线段DE的最大值是；

②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形，

理由是∵M（1，0），

∴把x=1代入y=x+1得：y=2，

即N（1，2），

∴MN=2，

要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2，

由①知DE=|-a2+3a|，

∴2=|-a2+3a|，

解得：a1=2，a2=1，a3=，a4=，

∴（2，0），（1，0）（因为和M重合，舍去）（，0），（，0）

∴P的坐标是（2，0），（，0），（，0）．