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【题目】如图,四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形,abcRtABCRtBED 的边长,已知,这时我们把关于 x 的形如二次方程称为勾系一元二次方程

请解决下列问题:

(1)写出一个勾系一元二次方程

(2)求证:关于 x勾系一元二次方程,必有实数根;

(3)若 x 1勾系一元二次方程的一个根,且四边形 ACDE 的周长是6,求ABC 的面积.

【答案】1(答案不唯一)2)见解析(31.

【解析】

1)直接找一组勾股数代入方程即可;

2)根据根的判别式即可求解;

3)根据方程的解代入求出a,b,c的关系,再根据完全平方公式的变形进行求解.

1)当a=3,b=4,c=5时,

勾系一元二次方程为

2)依题意得△=2-4ab=2c2-4ab,

a2+b2=c2,2c2-4ab=2a2+b2-4ab=2a-b20

即△≥0,故方程必有实数根;

3)把x=-1代入得a+b=c

∵四边形 ACDE 的周长是6

2(a+b)+ c=6,故得到c=2

a2+b2=4a+b=2

(a+b)2= a2+b2+2ab

ab=2,

ABC 的面积为ab=1.

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