Question

14．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，把△BPC绕着点B逆时针旋转得到△BQA．
（1）若AC=2$\sqrt{2}$，求四边形APBQ的面积；
（2）若PC比AP多2，且△PBQ的面积为5，求正方形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2，则可计算出S_△ABC=2，再根据旋转的性质得S_△BQA=S_△BPC，于是可利用S_{四边形APBQ}=S_△BQA+S_△BAP=S_△BPC+S_△BAP=S_△ABC求解；
（2）设AP=x，则PC=x+2，利用正方形的性质得∠BAC=∠ACB=45°，∠ABC=90°，AC=$\sqrt{2}$AB，再根据旋转的性质得∠PBQ=∠ABC=90°，BP=BQ，AQ=PC=x+2，∠BAQ=∠BCA=45°，则可判断△PBQ为等腰直角三角形，利用△PBQ的面积为5可计算出PQ=2$\sqrt{5}$，再证明∠QAP=90°，则利用勾股定理得到x²+（x+2）²=（2$\sqrt{5}$）²，解得x₁=2，x₂=-4（舍去），则AP=2，PC=4，然后利用正方形的性质可得AB的长，从而可计算出正方形的周长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵△BPC绕着点B逆时针旋转得到△BQA，
∴S_△BQA=S_△BPC，
∴S_{四边形APBQ}=S_△BQA+S_△BAP=S_△BPC+S_△BAP=S_△ABC=2；
（2）设AP=x，则PC=x+2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠ABC=90°，AC=$\sqrt{2}$AB，
∵△BPC绕着点B逆时针旋转得到△BQA，
∴∠PBQ=∠ABC=90°，BP=BQ，AQ=PC=x+2，∠BAQ=∠BCA=45°，
∴△PBQ为等腰直角三角形，
∵△PBQ的面积为5，
∴$\frac{1}{2}$PB²=5，解得PB=$\sqrt{10}$，
∴PQ=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{5}$，
∵∠BAQ+∠BAC=45°+45°=90°，即∠QAP=90°，
∴AP²+AQ²=PQ²，即x²+（x+2）²=（2$\sqrt{5}$）²，解得x₁=2，x₂=-4（舍去），
∴AP=2，PC=4，
∴AC=6，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的周长=4AB=12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质．