Question

如图，已知△ABC≌CDA，P是AC的中点，过点P的直线分别交CD、AB于点G、H，交AD、CD的延长线于点E、F．
（1）图中除△ABC≌CDA外还有多少对全等三角形？请把它们一一写出来；
（2）PE与PF是否相等？请说明理由．

Answer 1

解：（1）除△ABC≌CDA外还有4对全等三角形，分别是△GPC≌△HPA，△EAP≌△FCP，△EDG≌△FBH，△EAH≌△FCG；

（2）PE=PF，理由如下：
∵△ABC≌CDA，
∴∠DAC=∠BCA，
∵P是AC的中点，
∴AP=CP，
在△APE和△CPF中，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴FP=EP．
分析：（1）根据题目条件可以证明出△GPC≌△HPA，△EAP≌△FCP，△EDG≌△FBH，△EAH≌△FCG；
（2）首先根据：△ABC≌CDA，可得∠DAC=∠BCA，再根据P是AC的中点，可得AP=CP，再加上对顶角∠APE=∠CPF可以证明△APE≌△CPF进而得到FP=EP．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA．证明三角形全等必须有边相等的条件．