Question

如图，P是等边△ABC内部的一点，PA=2，PB=2

3

，PC=4，求△ABC的边长．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：

分析：如图，作旋转变换，运用旋转变换的性质首先证明△APQ为等边三角形，得到∠APQ=60°；然后证明△BPQ为直角三角形；求出线段AM、PM的长度，运用勾股定理求出AB的长度，即可解决问题．

解答：解：将△APC绕点A沿逆时针方向旋转60°到△AQB的位置；
连接PQ；过点A作AM⊥BP，交BP的延长线于点M．
由旋转变换的性质得：AP=AQ，∠PAQ=60°，BQ=PC=4；
∴△APQ为等边三角形，∠APQ=60°，PQ=PA=2；
∵22+(2

3

)2=42，
∴∠BPQ=90°，∠APB=90°+60°=150°，
∴∠APM=30°，AM=

1

2

PA=1，PM=

3

2

PA=

3

；
∴BM=BP+PM=3

3

；
由勾股定理得：AB²=BM²+AM²=27+1=28，
∴AB=2

7

．

点评：该题主要考查了旋转变换的性质及其应用、勾股定理逆定理等几何知识点问题；解题的关键是作旋转变换，借助旋转变换的性质将该题分散的条件集中．