Question

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以1个单位/秒的速度从A向C运动，点Q以2个单位/秒的速度同时沿A→B→C方向运动，⊙P和⊙Q的半径都为1．求：
（1）求圆心距PQ的最大值；
（2）设运动时间为t，求两圆相切时t的值；
（3）当t为何值时，两圆相离．

Answer 1

解：（1）由题意可知，当点Q与点B重合时，两圆的圆心距PQ最大，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴⊙Q运动了10÷2=5秒，
∴PC=8-5=3，
∴PQ==3；

（2）分两种情况：
①如图1，作QD⊥AC，此时，AP=t，AQ=2t，PQ=2，
∴△AQD∽△ABC，
∴=，即=，得QD=t，
∴-t=，
解得，t=；
②如图2，此时，AP=t，PQ=2，
∴PC=8-t，QC=16-2t，
∴QC²+PC²=PQ²，
即（16-2t）²+（8-t）²=2²，
解得，t=8+（舍去），t=8-；
综上，当t=或t=8-时，两圆相切；

（3）由（2）可得，
当＜t＜8-时，两圆相离．
分析：（1）由题意知，当点Q与点B重合时，两圆的圆心距PQ最大，可得出PC，根据勾股定理，即可求得PQ的长；
（2）分两种情况，讨论解答，第一次相切时，如图一，作QD⊥AC，根据相似三角形的性质，可得出QD=t，然后，根据勾股定理列出等式，即可得出t值；第二次相切时，如图二，可得出PC=8-t，QC=16-2t，根据勾股定理，即可得出；
（3）由（2）可知，两圆相离时，t的取值；
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系，知道圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离?d＞R+r；②两圆外切?d=R+r．