Question

5．如图1，四边形ABCD为矩形，E为边BC上一点，G为边AD上一点，四边形AEGF为菱形．

（1）如图2，当G与D重合时，求证：E为BC的中点；
（2）若AB=3，菱形AEGF为正方形，且EC＜EG，求AD的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由矩形和菱形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=DC，AE=DE，根据HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE，得出BE=CE即可；
（2）作GH⊥BC于H，由正方形的性质得出△ABE和△DHE是等腰直角三角形，得出BE=AB=3，EH=DH=CD=3，求出EG=$\sqrt{2}$EH=3$\sqrt{2}$，即可得出AD得取值范围是．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC，
∵四边形AEGF为菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴BE=CE，
即E为BC的中点；
（2）作GH⊥BC于H，如图所示：
则GH=AB=3，
∵四边形AEGF为正方形，
∴∠EAF=∠EDF=90°，AB=CD=3，∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠EDH=45°，
∴△ABE和△DHE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=3，EH=DH=CD=3，
∴EG=$\sqrt{2}$EH=3$\sqrt{2}$，
∵EC＜EG，
∴EC＜3$\sqrt{2}$，
∴AD=BC=BE+EC＜3+3$\sqrt{2}$，
∴AD得取值范围是6＜AD＜3+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．