Question

【题目】如图，在连长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点H，连接DH.下列结论正确的个数是（ ）

①△ABG∽△FDG；②HD平分∠EHG；③AG⊥BE；④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是2-2

A．2 B．3 C．4 D．5

Answer 1

【答案】C．

【解析】

试题解析：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCF，

∴∠ABE=∠DAG，

∵∠DAG+∠BAH=90°，

∴∠BAE+∠BAH=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE，故③正确，

同法可证：△AGB≌△CGB，

∵DF∥CB，

∴△CBG∽△FDG，

∴△ABG∽△FDG，故①正确，

∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，

又∵∠DAG=∠FCD，

∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确

取AB的中点O，连接OD、OH，

∵正方形的边长为4，

∴AO=OH=×4=2，

由勾股定理得，OD=，

由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，

DH最小=2﹣2．

无法证明DH平分∠EHG，故②错误，

故①③④⑤正确，

故选C．