Question

18．已知如图1、2，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB于E、DF⊥AC于F，且BE=CF，点M、N分别是AE、DE上的点，AN⊥FM于G
（1）如图1，当∠BAC=90°时；
①求证：四边形AEDF是正方形；
②试问AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两对角线的数量关系相同吗？请证明你的结论；
（2）如图2，当∠BAC≠90°，且AF：DF=2：1时，求AN：FM的值；
（3）根据（1）中②和（2）的结论或求解过程，在一般情况下（即除去条件：“∠BAC-90°，AF：DF=2：1”，其他条件不变），问AN与FM之间的数量关系有何规律？直接用文字说明或用等式表示（不证明）．

Answer 1

分析 （1）①证明Rt△BED≌Rt△CFD，得到DE=DF，证明结论；
②根据已知和正方形的性质证明Rt△AEN≌Rt△FAM，得到答案；
（2）根据已知设AF=2k，DF=k，求出AD：EF，证明△FME∽△AND，求出AN：FM的值；
（3）根据（1）中②和（2）的结论，可以得到AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两条对角线之间的关系．

解答 （1）①证明：∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
以上BD=DC，∠DEB=∠DFC=90°，BE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴矩形AEDF是正方形．
②答：AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两条对角线的数量关系相同；
理由：在正方形AEDF中，AF=AE，
又∵AN⊥FM于G，∠AMF=∠ANE，
∠AEN=∠MAF=90°，
∴Rt△AEN≌Rt△FAM（AAS），
∴AN=FM，
又∵正方形AEDF的对角线相等，
∴AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两对角线的数量关系相同．
（2）连接AD、EF，
设AF=2k，DF=k，在Rt△ADF中，AD=$\sqrt{（2k）^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{5}$k，
∵Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B=∠C，DE=DF，
∴AB=AC，AE=AF，
∴AD的垂直平分EF，则OF=$\frac{1}{2}$EF，DF⊥AC与F，
$\frac{1}{2}×\sqrt{5}k•OF$=2k×k×$\frac{1}{2}$，
∴PF=$\frac{2k}{\sqrt{5}}$，
∴EF=$\frac{4k}{\sqrt{5}}$，
又∵∠NEM=∠MGN=90°，
∠GME+∠ENG=∠DNG+∠ENG=180°，
∠EMF=∠DNA，∠AEO=∠NDA，
∴△FME∽△AND，
∴$\frac{AN}{FM}$=$\frac{AD}{EF}$=$\frac{5}{4}$；
（3）根据（1）中②和（2）的结论或求解过程可知，
∵∠NEM=∠MGN=90°，
∠GME+∠ENG=∠DNG+∠ENG=180°，
∠EMF=∠DNA，∠AEO=∠NDA，
∴△FME∽△AND，
∴$\frac{AN}{FM}$=$\frac{AD}{EF}$，
AN、FM与四边形AEDF的两条对角线对应成比例．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想在解题中的运用．