Question

10．已知关于x的一元二次方程x²-x+$\frac{1}{4}$m=0有两个实数根．
（1）若m为正整数，求此方程的根；
（2）设此方程的一个实数根为b，若y=$\frac{1}{4}$m-2b²+2b+1，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）表示出△，根据方程有两个实数根及m为正整数，可得m的值，继而可得方程的根．
（2）先得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得2b²-2b+$\frac{1}{2}$m=0，整体代入，可得y的取值范围．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²-x+$\frac{1}{4}$m=0有两个实数根，
∴△=1-m≥0，
∴m≤1，
又∵m为正整数，
∴m=1，
∴方程的根为$\frac{1}{2}$；

（2）∵△=1-m≥0，
∴m≤1，
∵b是方程的一个实数根，
∴b²-b+$\frac{1}{4}$m=0，
∴2b²-2b+$\frac{1}{2}$m=0，
∴y=$\frac{1}{4}$m-2b²+2b+1=$\frac{3}{4}$m+1，
即y的取值范围是：y≤$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．