Question

7．问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；
（1）特例探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为18，求△ACF与△BDE的面积之和是多少？

Answer 1

分析 （1）根据图②，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；
（2）根据图③，运用三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；
（3）根据图④，由CD=2BD，△ABC的面积为18，可求出△ABD的面积为6，根据△ABE≌△CAF，得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，据此即可得出答案．

解答 （1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CFA}\\{∠ABD=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；

（2）证明：如图③，∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；

（3）如图④，∵△ABC的面积为18，CD=2BD，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{3}$×18=6，
由（2）可得△ABE≌△CAF，
即△ACF的面积=△ABE的面积，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，
即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积6．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，主要考核了学生的分析问题和解决问题的能力，解决问题的关键是掌握：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的周长相等，面积相等．