Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为 时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得x1=﹣1，x2=3

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣1，0），

如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC，

∴ = ，

∵CD=4AC，

∴ = =4，

∵OA=1，

∴OF=4，

∴D点的横坐标为4，

代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐标代入y=kx+b得 ，

解得 ，

∴直线l的函数表达式为y=ax+a

（2）

解：如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，

设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．

∴HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，

由 得x=﹣1或x=4，

即点D的横坐标为4，

∴S△ADE=S△AEH+S△DEH= （﹣ax2+3ax+4a）=﹣ a（x﹣ ）2+ a．

∴△ADE的面积的最大值为 a，

∴ a= ，

解得：a= ．

∴抛物线的函数表达式为y= x2﹣ x﹣

（3）

解：已知A（﹣1，0），D（4，5a）．

∵y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴抛物线的对称轴为x=1，

设P（1，m），

①若AD为矩形的边，则AD∥PQ，且AD=PQ，

则Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ为矩形，

∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2= ，

∵a＞0，

∴a= ，

∴P1（1， ），

②若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．

∴xD+xP=xA+xQ，yD+yA=yP+yQ，

∴xQ=2，

∴Q（2，﹣3a）．

∴yP=8a

∴P（1，8a）．

∵四边形APDQ为矩形，

∴∠APD=90°

∴AP2+PD2=AD2

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2=52+（5a）2

即a2= ，

∵a＞0，

∴a=

∴P2（1，4）

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1， ）或（1，4）

【解析】（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE=S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．