Question

【题目】已知，如图，BD为⊙O的直径，点A、C在⊙O上并位于BD的两侧，∠ABC＝45°，连结CD、OA并延长交于点F，过点C作⊙O的切线交BD延长线于点E．

（1）求证：∠F＝∠ECF；

（2）当DF＝6，tan∠EBC＝，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连结OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，计算即可证明；

（2）DC＝x，根据正切的定义用x表示出BC、BD、OC，根据正切的定义列式计算即可．

（1）证明：连结OC，

∵CE切圆O于C，

∴OC⊥CE，

∴∠OCF+∠FCE＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，

∴∠F+∠OCF＝90°，

∴∠F＝∠ECF；

（2）设DC＝x，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵BD为圆O的直径

∴∠BCO+∠OCD＝90°，

∵∠ECD+∠OCD＝90°，

∴∠OBC＝∠ECD，

∵∠F＝∠ECD，

∴∠F＝∠EBC，

在Rt△BCD中，tan∠EBC＝，

则BC＝2DC＝2x，BD＝x，

∴OC＝OA＝x，

在Rt△FOC中，tanF＝tan∠EBC＝

∴FC＝OC，即6+x＝x，

解得，x＝4，

∴OF＝2OC＝4，

∴AF＝OF﹣AO＝2．