【题目】如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.
(1)如图a,求证:△BCP≌△DCQ;
(2)如图,延长BP交直线DQ于点E.
①如图b,求证:BE⊥DQ;
②如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由.
【答案】
(1)证明:∵∠BCD=90°,∠PCQ=90°,
∴∠BCP=∠DCQ,
在△BCP和△DCQ中,
,
∴△BCP≌△DCQ
(2)解:①如图b,∵△BCP≌△DCQ,
∴∠CBF=∠EDF,又∠BFC=∠DFE,
∴∠DEF=∠BCF=90°,
∴BE⊥DQ;
②∵△BCP为等边三角形,
∴∠BCP=60°,∴∠PCD=30°,又CP=CD,
∴∠CPD=∠CDP=75°,又∠BPC=60°,∠CDQ=60°,
∴∠EPD=45°,∠EDP=45°,
∴△DEP为等腰直角三角形.
【解析】(1)根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ,得到△BCP≌△DCQ;(2)①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案;
②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°,∠EDP=45°,判断△DEP的形状.
【考点精析】解答此题的关键在于理解旋转的性质的相关知识,掌握①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.
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【题目】 下列事件中,最适合采用全面调查的是( )
A.对某班全体学生出生日期的调查B.对全国中小学生节水意识的调查
C.对某批次的灯泡使用寿命的调查.D.对厦门市初中学生每天阅读时间的调查
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【题目】对于某一函数,给出如下定义:若存在实数,对于一函数任意的函数值
,函数值都满足
,则称这个函数是有界函数,同时进一步规定,对某个有界函数,在所有满足条件的
中,其最小值称为这个有界函数的确界值.例如如图所示的函数是有界函数,其确界值是1.5.
问:将有界函数+
的图象向上平移
个单位,得到的新函数的确界值是
,当
在什么范围时,满足
.
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【题目】
小明同学平时爱好数学,他探索发现了:从2开始,连续的几个偶然相加,它们和的情况的变化规律如下:
2=12
2+4=23
2+4+6=34
2+4+6+8=45
……
请你根据上述规律解答下列问题:
(1)试一试:2+4+6+8+10+12+14+16= ;
(2)猜一猜:2+4+……+2n= ;(用含n的式子表示)
(3)用一用:利用上题的猜想结果,计算202+204+206+……+498+500的值(要有计算过程)
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【题目】某公园门票的收费标准如下:
门票类别 | 成人票 | 儿童票 | 团体票(限5张及以上) |
价格(元/人) | 100 | 40 | 60 |
有两个家庭分别去该公园游玩,每个家庭都有5名成员,且他们都选择了最省钱的方案购买门票,结果一家比另一家少花40元,则花费较少的一家花了_____元.
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【题目】抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线为( )
A.y=3(x+3)2﹣2
B.y=3(x+3)2+2
C.y=3(x﹣3)2﹣2
D.y=3(x﹣3)2+2
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【题目】某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种土特产,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:
土特产品种 | 甲 | 乙 | 丙 |
每辆汽车运载量(吨) | 8 | 6 | 5 |
每吨土特产获利(百元) | 12 | 16 | 10 |
(1)设装运甲种土特产的车辆数为x,装运乙种土特产的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式.
(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆,那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案.
(3)若要使此次销售获利最大,应采用(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值.
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