Question

1．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O
（1）以图中标有字母的点为端点连接两条线的（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；
（2）若正方形的边长为2cm，若旋转的角度为30°，求重叠部分（四边形AEOD）的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE、AO，证明△ADO≌△AEO，从而可证明AO是DE的垂直平分线；
（2）△ADO中，根据特殊锐角三角函数值求得OE的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）如图所示连接OE、AO．

由正方形的性质和旋转的性质可知：AD=AE，∠CDA=∠AEF=90°，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO．
∴OD=OE．
∵AD=AE，OD=EO，
∴AO是DE的垂直平分线．
∴AO⊥DE．
（2）∵旋转的角度为30°，
∴∠EAN=30°．
∴∠DAE=60°．
由（1）可知：Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴∠OAE=$\frac{1}{2}∠DAE$=30°．
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴重合部分的面积=2S_AOE=2×$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定，证得Rt△ADO≌Rt△AEO是解题的关键．