Question

6．下列命题：
①若a+b+c=0，则b²-4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若b²-4ac＞0，则二次函数y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
⑤若ac+b+1=0，则二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴一定有交点．
其中正确的是②④⑤．

Answer 1

分析 把b=-（a+c）代入△=b²-4ac中计算可得△=（a-c）²，则可对①进行判断；把b=2a+3c代入△=b²-4ac中，利用配方法得到△=4（a+c）²+5c²，则可对②进行判断；利用反例对③进行判断；根据二次函数图象与x轴的交点问题可对④进行判断；先计算出△=（ac-1）²≥0，则根据二次函数图象与x轴的交点问题可对⑤进行判断．

解答 解：当b=-（a+c），△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，所以①错误；
当b=2a+3c，△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4a²+8ac+9c²=4（a+c）²+5c²＞0，所以②正确；
当b=0，a=-1，c=0，满足b＞a+c，而此时方程为-x²=0，方程有两个相等的实数解，所以③错误；
若b²-4ac＞0，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个公共点，当c=0时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴有两个公共点；当c≠0，此时抛物线与坐标轴有三个公共点，所以④正确；
若b=-ac-1，△=b²-4ac=（-ac-1）²-4ac=（ac-1）²≥0，则二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴一定有交点，所以⑤正确．
故答案为②④⑤．

点评 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式和二次函数与x轴的交点问题．