Question

20．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4与y轴交于C，与x轴交于点A、B，平行于x轴的动直线l与抛物线交于点P，直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 本题要分三种情况进行求解：①当OD=OF时，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是个等腰直角三角形，于是可得出F的坐标应该是（2，2），由于P，F两点的纵坐标相同，因此可将F的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标；②当OF=DF时，如果过F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的纵坐标，然后根据①的方法求出P的坐标；③当OD=OF时，OF=2，由于O到AC的最短距离为2$\sqrt{2}$，因此此种情况是不成立的，综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标．

解答 解：存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形，理由为：
在△ODF中，如图，
，
分三种情况考虑：
①若DO=DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此时，点F的坐标为（2，2），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=2，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，
此时，点P的坐标为：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得：OM=$\frac{1}{2}$OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（1，3），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=3，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，
此时，点P的坐标为：P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）；
③若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
∴点O到AC的距离为2$\sqrt{2}$，而OF=OD=2＜2$\sqrt{2}$，与OF≥2$\sqrt{2}$矛盾，
所以AC上不存在点使得OF=OD=2，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）或P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用等腰三角形的定义是解题关键，不确定等腰三角形的腰是哪些线段时，要分类进行讨论．