Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是 ， 证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ．

Answer 1

【答案】
（1）平行四边形
（2）互相垂直
（3）菱形
【解析】解：（1.）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连结BD．

∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH= BD，
同理FG∥BD，FG= BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2.）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连结AC、BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
（3.）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图，连结AC、BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH= BD，FG= BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：平行四边形；互相垂直；菱形．
（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH= BD，FG∥BD，FG═ BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；（3）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1=90°，然后根据平行线的性质求出∠3=90°，再根据垂直定义解答．