Question

如图，在⊙O中，弦AE⊥弦 BC于D，BC=6，AD=7，∠BAC=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求DE的长．

Answer 1

解：连接OB、OC，
∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，有
OB²+OC²=BC²，
且OC=OB，
∴2OC²=BC²，
∵BC=6
∴OC=3．
即O的半径为3．

（2）过点O作OM⊥AE于M，ON⊥BC于N，
可得AM=ME，ON=BC=3，
∵AE⊥BC，OM⊥AE，ON⊥BC，
∴∠ADC=∠DNO=∠OMD=90°，
∴四边形OMDN是矩形，
∴MD=ON=3，
∴AM=AD-MD=7-3=4=ME，
∴DE=ME-MD=4-3=1．
分析：（1）连接OB，OC，由于∠BAC=45°，可求得∠BOC=90°，所以三角形BOC是等腰直角三角形，已知BC的长，利用勾股定理可以求出⊙O的半径；
（2）过点O作OM⊥AE于M，ON⊥BC于N，易证四边形OMDN是矩形，从而求出DE=1．
点评：本题考查了圆周角定理以及矩形的判定，熟记定理，根据已知和图形添加适当的辅助线是解题的关键．解决与弦有关的问题时，一般要作弦的弦心距．