Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，以AB，BD为邻边?ABDE．连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD； 
（2）试探究当点D在BC的什么位置，四边形ADCE是矩形，并说明理由．

Answer 1

考点：矩形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB，则易证△ADC≌△ECD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵?ABDE中，AB=DE，AB∥DE，
∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，
在△ADC和△ECD中，

AC=DE ∠EDC=∠ACB DC=CD

，
∴△ADC≌△ECD（SAS）．

（2）答：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，
解：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵D为边长中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC=DE，
∴四边形ADCE是矩形，
即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．

点评：本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定的应用，证明两线段相等常用的方法就是转化为证两三角形全等．