Question

如图，点P为△AEF外一点，PA平分∠EAF，PD⊥EF于D，且DE=DF，PB⊥AE于B．
求证：AF-AB=BE．

Answer 1

分析：过点P作PM⊥AF于M，连接PE、PF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PB=PM，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PE=PF，然后利用“HL”证明Rt△PBE和Rt△PMF全等，根据全等三角形对应边相等可得MF=BE，再根据AF-AM=MF整理即可得证．

解答：证明：如图，过点P作PM⊥AF于M，连接PE、PF，
∵PA平分∠EAF，PB⊥AE，
∴PB=PM，AM=AB，
∵PD⊥EF，DE=DF，
∴PD垂直平分EF，
∴PE=PF，
在Rt△PBE和Rt△PMF，

PE=PF PB=PM

，
∴Rt△PBE≌Rt△PMF（HL），
∴MF=BE，
∵AF-AM=MF，
∴AF-AB=BE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．