Question

9．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，-1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）求△AOB的面积；
（3）我们知道，一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向下平移1个长度单位得到．试结合平移解决下列问题：在（1）的条件下，请你试探究：
①函数y=$\frac{-2x+7}{x-2}$的图象可以由y=$\frac{k}{x}$的图象经过怎样的平移得到？
②点P（x₁，y₁）、Q （x₂，y₂） 在函数y=$\frac{-2x+7}{x-2}$的图象上，x₁＜x₂．试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）有点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，进而即可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线AB与x轴的交点坐标，利用三角形的面积公式结合A、B点的纵坐标即可得出△AOB的面积；
（3）①将反比例函数解析式进行化简，再结合平移的性质即可得出结论；②根据反比例函数在每个象限内单调递减，即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$；
∵点B（n，-1）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴点B的坐标为（-3，-1）．
∵点A（1，3），点B（-3，-1），
∴利用待定系数法即可得出直线AB的解析式为y=x+2．
（2）当y=0时，有x+2=0，
解得：x=-2，
∴直线AB与x轴的交点坐标为（-2，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×[0-（-2）]×[3-（-1）]=4．
（3）①∵y=$\frac{-2x+7}{x-2}$=$\frac{-2（x-2）+3}{x-2}$=$\frac{3}{x-2}$-2，
∴函数y=$\frac{-2x+7}{x-2}$的图象可以由y=$\frac{k}{x}$的图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到．
②∵反比例函数y=$\frac{-2x+7}{x-2}$的图象在每个象限内都是单调递减，
当x₁＜x₂＜2或2＜x₁＜x₂时，y₁＞y₂；
当x₁＜2＜x₂时，y₁＜y₂．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及坐标与图形的变化-平移，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用三角形的面积公式求值；（3）找出函数图象的变换．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．