Question

6．观察下列各式及其验证过程：
①2$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；②3$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$•；  ③4$\sqrt{\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$； …
第①、②的验证：2$\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^3}{3}}=\sqrt{\frac{{{2^3}-2+2}}{3}}=\sqrt{\frac{{2（{2^2}-1）+2}}{3}}=\sqrt{\frac{{2（{2^2}-1）+2}}{{{2^2}-1}}}=\sqrt{2+\frac{2}{{{2^2}-1}}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；3$\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^3}{8}}=\sqrt{\frac{{{3^3}-3+3}}{8}}=\sqrt{\frac{{3（{3^2}-1）+3}}{8}}=\sqrt{\frac{{3（{3^2}-1）+3}}{{{3^2}-1}}}=\sqrt{3+\frac{3}{{{3^2}-1}}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$•
（1）根据上面的结论和验证过程，猜想5$\sqrt{\frac{5}{24}}$的结果并写出验证过程；
（2）根据对上述各式规律，直接写出第n个等式（不要验证）．

Answer 1

分析 （1）根据已知中二次根式的化简即可得出答案．
（2）利用（1）中计算结果，即可得出二次根式的变化规律，进而得出答案即可．

解答 解：（1）5$\sqrt{\frac{5}{24}}$=$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$．
5$\sqrt{\frac{5}{24}}$
=$\sqrt{\frac{{5}^{3}}{24}}$，
=$\sqrt{\frac{{5}^{3}-5+5}{24}}$，
=$\sqrt{\frac{5{（5}^{2}-1）+5}{{5}^{2}-1}}$，
=$\sqrt{5+\frac{5}{{5}^{2}-1}}$，
=$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$；

（2）n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$（n为正整数，n≥2）．

点评 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出根式内外变化规律是解题关键．