Question

如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．
（Ⅰ）求证：△ADC∽△ACB；
（Ⅱ）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求

AD

AC

的值．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（I）连接OC，求出∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠B，根据相似三角形的判定推出即可；
（II）根据勾股定理求出AB，求出∠ACG+∠B=180°，求出∠DCA=∠B，求出∠ADC=∠AGB，证△ADC∽△AGB，得出比例式，代入求出即可．

解答：（I）证明：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB是⊙O直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，
∴∠ADC=∠DCO=∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠DCA=∠OCB=∠OBC，
∵∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠OBC，
∴△ADC∽△ACB．


（II）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠AGB=90°，
∵AG=4，BG=3，由勾股定理得：AB=

42+32

=5，
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ACG=180°，
∵∠ACD+∠ACG=180°，
∴∠B=∠DCA，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠AGB，
∴△ADC∽△AGB，
∴

AD

AG

=

AC

AB

，
∴

AD

AC

=

AG

AB

=

4

5

．

点评：本题考查了圆内接四边形，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，关键是推出△ADC∽△ACB或△ADC∽△AGB．