Question

已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．
（1）如图，若PE=，EO=1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3-4，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；
（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．
解答：解：（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=，EO=1，
∴tan∠EPO==，
∴∠EPO=30°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在Rt△PEO和Rt△PFO中，，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），
∴∠FPO=∠EPO=30°，
∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；


（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，
∴PF为△AOD中位线，
∴PF∥AO，且PF=AO，
∵PF⊥BD，
∴∠PFD=90°，
∴∠AOD=∠PFD=90°，
又∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∴∠AOD=∠AEP，
∴PE∥OD，
∵点P是AD的中点，
∴PE是△AOD的中位线，
∴PE=OD，
∵PE=PF，
∴AO=OD，且AO⊥OD，
∴平行四边形ABCD是正方形，
设BC=x，
则BF=x+×x=x，
∵BF=BC+3-4=x+3-4，
∴x+3-4=x，
解得x=4，
即BC=4．
点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．