Question

已知关于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若关于x的二次函数y=mx²-（3m+2）x+2m+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式．

Answer 1

（1）证明：
①当m=0时，方程为-2x+2=0，所以x=1，方程有实数根；
②当m≠0时，△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）
=9m²+12m+4-8m²-8m
=m²+4m+4
=（m+2）²≥0，
所以，方程有实数根．
综①②所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）解：令y=0，则mx²-（3m+2）x+2m+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x₁=1，x₂=2+，
二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，
所以m只能取1，2，
所以抛物线的解析式为y=x²-5x+4或y=2x²-8x+6．
分析：（1）因为方程的类型不确定，所以要分两种情况讨论：当m=0时和m≠0时分别证明即可；
（2）令y=0，则mx²-（3m+2）x+2m+2=0，则可求出方程的解，即与x轴交点的横坐标，再根据已知条件即可求出m的值，进而求出抛物线的解析式．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．