Question

如图，已知等边三角形ABC中，P为底边BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH⊥AC于H，求证：PE+PF=BH．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：证明题

分析：连接AP，可分别表示出△ABC、△ABP、△ACP的面积，根据面积相等可证得结论．

解答：证明：
连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PE，S_△ACP=

1

2

AC•PF，S_△ABC=

1

2

AC•BH，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，
∴

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF=

1

2

AC•BH，
∴AB•PE+AC•PF=AC•BH，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴PE+PF=BH．

点评：本题主要考查等边三角形的性质及等积法，利用等积法得到AB•PE+AC•PF=AC•BH是解题的关键．