Question

如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（2）如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长；
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ=2PN，CM⊥AD，根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN=CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；
（3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．

解答：解：（1）AD=BE．理由如下：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，
∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；

（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP=CQ，
∴PQ=2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴CM⊥AD，CM=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∴CN=CM=4（全等三角形对应边上的高相等），
∵CP=CQ=5，
∴PN=

CP2-CN2

=

52-42

=3，
∴PQ=2PN=2×3=6；

（3）PQ的长为定值6．
∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN=CM=4是定值，
∴PQ的长是定值．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三角形对应边上的高线相等求出点C到PQ的距离等于CM是解题的关键．