Question

【题目】已知抛物线

若该抛物线经过点，试求的值及抛物线的顶点坐标．

求此抛物线的顶点坐标(用含的代数式表示) ，并证明：不论为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线上．

直线截抛物线所得的线段长是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当时， ，其顶点坐标为，当时， ，其顶点坐标为；（2）顶点坐标为；证明见解析；（3）是，

【解析】

（1）将点P的坐标代入抛物线解析式中可求出m的值，再利用二次函数的性质可求出抛物线的顶点坐标；

（2）利用配方法找出抛物线的顶点坐标，由其纵坐标减横坐标为定值，可得出不论m为何值，该抛物线的顶点坐标都在同一条直线l上；

（3）将直线l的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之可得出交点的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出交点的坐标，再利用两点间的距离公式可求出直线l截抛物线所得的线段长．

解：将代入

得

解得或

当时， ，其顶点坐标为

当时， ，其顶点坐标为

方法1：设顶点坐标为

则

顶点坐标为

方法2：

∵

顶点坐标为

证明：∵

不论为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线上

是

将代入得

与抛物线的交点坐标分别为