Question

2．已知如图，直线y=-$\frac{2}{3}$x+2分别交y轴、x轴于C、A两点，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点C和点A，且过点B（-1，0），点D为抛物线的顶点，连接CD、AD．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）已知点P为线段CD上一点，连接AP，线段AP将△ACD分成两个部分，并且S_△ACP：S_△ADP=1：2，试求直线AP的解析式；
（3）连接BC，试在抛物线上找一点R，使∠ACR=∠BCO，设R的横坐标为m，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先根据直线y=-$\frac{2}{3}$x+2分别交y轴、x轴于C、A两点，可求C、A两点的坐标，再根据待定系数法可求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）根据相似三角形的性质得到P（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$），再根据待定系数法可求直线AP的解析式；
（3）分两种情况：①过点A作AQ₁⊥AC交CR₁与点Q₁，过点Q₁作Q₁K₁⊥x轴于点K₁，②如图2，过点A作AQ₂⊥AC交CR₂与点Q₂，过点Q₂作Q₂K₂⊥x轴于点K₂，进行讨论即可得到m的值．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{2}{3}$x+2分别交y轴、x轴于C、A两点，
∴x=0时，y=2，C点坐标为（0，2），
y=0时，x=3，A点坐标为（3，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点C和点A，且过点B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{9a+3b+c=0}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，顶点坐标为D（1，$\frac{8}{3}$）；

（2）过点D作DS∥y轴，过点C作CS∥x轴交DS于点S，过点P作PK∥y轴交CS于点K，
∴△CKP∽△CSD，
∴$\frac{PK}{DS}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CK}{CS}$，
∵S_△ACP：S_△ADP=1：2，
∴CP：PD=1：2，
∴$\frac{PK}{DS}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CK}{CS}$=$\frac{1}{3}$，
∵DS=$\frac{2}{3}$，CS=1，
∴PK=$\frac{2}{9}$，CK=$\frac{1}{3}$，
∴P（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$），
设AP所在的直线为：y=k₂x+b₂（k₂≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{3{k}_{2}+{b}_{2}=0}\\{\frac{1}{3}{k}_{2}+{b}_{2}=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{5}{6}}\\{{b}_{2}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{5}{2}$．

（3）①如图2，过点A作AQ₁⊥AC交CR₁与点Q₁，过点Q₁作Q₁K₁⊥x轴于点K₁，
∵OC=2，OB=1，
∴tan∠BCO=$\frac{1}{2}$，
∵∠ACR=∠BCO，
∴在Rt△CAQ₁中，tan∠ACR=$\frac{1}{2}$，AC=$\sqrt{13}$，
∴Q₁A=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵△AOC∽△AK₁Q₁，
∴AK₁：Q₁K₁：AQ₁=2：3：$\sqrt{13}$，
∴Q₁（4，$\frac{3}{2}$），
∴CQ₁所在的直线：y=-$\frac{1}{8}$x+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{8}x+2}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}\end{array}\right.$，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{35}{16}$，
∴m=$\frac{35}{16}$．
②如图2，过点A作AQ₂⊥AC交CR₂与点Q₂，过点Q₂作Q₂K₂⊥x轴于点K₂，
由①知道：△AK₁Q₁≌△AK₂Q₂，
∴Q₂（2，-$\frac{3}{2}$），
∴CQ₂所在的直线：y=-$\frac{7}{4}$x+2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{7}{4}x+2}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}\end{array}\right.$，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{37}{8}$．
∴m=$\frac{37}{8}$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的性质等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（3）问注意分类思想的应用．