Question

13．图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．
（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为m-n．
（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；
（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）²，（m-n）²，mn；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a-b）²的值．

Answer 1

分析 （1）根据图形即可得出图b中小正方形的边长为m-n；
（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为（m-n）²；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为
（m+n）²-4mn；
（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到等量关系式；
（4）利用（3）中的公式得到（a-b）²=（a+b）²-4ab．

解答 解：（1）图b中小正方形的边长为m-n．
故答案为m-n；

（2）方法①：（m-n）（m-n）=（m-n）²；
方法②：（m+n）²-4mn；

（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m-n）²=（m+n）²-4mn；

（4）由（3）得：（a-b）²=（a+b）²-4ab，
∵a+b=7，ab=5，
∴（a-b）²=7²-4×5
=49-20
=29．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．