Question

在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°，

（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD所在直线的位置关系为

 

，线段CF，BD的数量关系为

 

；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图3，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）线段CF，BD所在直线位置关系为垂直；数量关系为相等；
（2）（1）中结论仍然成立，理由为：由ADEF为正方形，得到AD=AF，∠DAF为直角，根据已知得到AB=AC，再由∠BAC为直角，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形DAB与三角形FAC全等，利用全等三角形对应边相等得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，由三角形ACB为等腰直角三角形，得到∠ABC=45°，利用全等三角形对应角相等得到∠ACF=45°，由∠ACB+∠ACF=∠FCD=90°，得到CF与BD垂直．

解答：解：（1）垂直，相等；
故答案为：垂直，相等；
（2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立，理由为：
由正方形ADEF得：AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
在△DAB和△FAC中，

AD=AF ∠DAB=∠FAC AB=AC

，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
则CF⊥BD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．