Question

19．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P．
（1）请你判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）求证：DP∥AB；
（3）若AC=5，BC=12，求线段BD、CD的长．

Answer 1

分析 （1）先由直径所对的圆周角是直角得出是直角三角形，再由角平分线得出AD=BD即可得出结论；
（2）先由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，再有切线得出OD⊥DP即可得出结论，
（3）利用勾股定理先求出AB，再由等腰直角三角形的性质即可得出BD，再构造直角三角形即可求出CF进而得出CD．

解答 解：（1）△ABD是等腰直角三角形，
理由：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠BCD=∠ACD，
∴BD=AD，
∴直角三角形ABD是等腰直角三角形．
（2）如图，连接OD．由（1）知，△ABD是等腰直角三角形，OA=OB，
∴OD⊥AB，
∵DP是⊙O的切线，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥DP，
∴DP∥AB；
（3）如图2，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=5，BC=12，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13，
在Rt△ABD中，BD=AD，AB=13，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠BCD=45°，过点D作DF⊥BC，
∴CF=DF，∵BC=BF+CF=12，
∴BF=12-CF，
在Rt△BDF中，BD=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴BD²=BF²+DF²，
∴$\frac{169}{2}$=（12-CF）²+CF²，
∴CF=$\frac{24+5\sqrt{5}}{4}$或CF=$\frac{24-5\sqrt{5}}{4}$，
∴CD=$\sqrt{2}$CF=$\frac{24\sqrt{2}+5\sqrt{10}}{4}$或$\frac{24\sqrt{2}-5\sqrt{10}}{4}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，解本题的关键是求出BD，是一道中等难度的中考常考题．